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乱侃->几何代数

2009年1月3日 阅读(59)

作为思维的一种方法,类比大概是其中最重要的一种。

陈胜说"王侯将相,宁有种乎",必然是经过一番比较的。仿生学的产生,比如潜艇,飞机,军装的颜色便是一种生物的模仿。了解下蜂房的构造,有助于人类建筑的改进。王阳明格物致知,格竹,这也是一番类比。类比一番,你会发现宏观世界与微观世界的惊人相似,天体力学与原子力学是统一的,光就是一种电磁波。大多数的不幸都是类似的,大多数的幸福也是类似的。时间空间本身就是人类的一种空想,梦境与真实实际上是如此模糊不清。

有个人曾经宣称他可以同时跟两个世界象棋大师下棋,并能与他们旗鼓相当。你知道怎么可以做到吗?实际上他充当了一个中间人角色,他给大师A下棋,然后将大师A的走法复制一般作为自己对大师B的走法。然后再把大师B的对策复制一遍,自己用来对付大师A。这样实际上是大师A和B的对弈。如果类比到网络安全领域,就是中间人攻击,或者是从网络安全领域类比过来。

类比一下,实际上,生活中也是可以利用这种中间人攻击来作弊的,相信有人玩过qq游戏,里面有五子棋,如果你有一个很强的五子棋的AI程序,那么你同样可以让他在网络上帮你下棋,当然啦这是一种作弊行为啦。你用你对手的走法去对付AI,然后把AI的对策,作为你对对手的对策,这样你就得到了你的AI程序的能力。

几何与代数,从几千年前就产生了纠葛,比如可公度线段,实际上就是有理数的几何表示。而正是几何帮助了代数中无理数的发现,虽然发现者得到的是悲惨的下场。无论从几何到代数,还是从代数到几何,作为不同体系中的相同概念的不同表现形式,要完成这种变化同样需要类比。

而一个个的方程最终被笛卡尔统一到一个平面上,演变成一条条的线,一个个的平面,这就是解析几何,代数与几何的交汇。

实际上问题的解决,很多时候如果把表面上是几何的问题放到代数里来解,就很简单,反之亦然。比如古希腊的三大作图难题,被研究了几千年,最终被证明是无法完成的。就是通过证明它们涉及的那些数实际上是超越数,而尺规作图是无法做出超越数的。而平面上的不动点定理,被约翰 纳什用到了经济学,并获得了诺贝尔奖,这是天才的类比。

乱侃了这么多,主要还是在这里,即几何问题的代数化,以及代数问题的几何化。

说我遇到的两个例子吧,一个是概率问题,给定随机的三个数,它们的范围都在【0,1】,计算这三个数可以组成三角型的概率。对于三个数要组成三角型,满足如下条件即可:
x+y>z
x+z>y
y+z>x
单纯的这几个代数式是不好计算的,如果你把它们放到立体几何中,就可以发现每个不等式都是代表了一个平面方程,这样实际上它们代表了三个平面的交,进一步的实际上是正方体的那个内部消掉棱角之后剩下的那块,而这样的一个概率实际就是它的体积。

在一个是关于正方体交的问题,实际上在一维里就是线段交,二维里是矩形交,三维里就是长方体交的部分。
这样的一个问题如果你放在立体几何里实际上就不好求了,相反我们要把它们以不等式的方式表示出来,然后解这样的一个不等式,最终不等式组的交,就是长方体相交后形成的长方体。

实际上,大道无常,没有固定的形态,实际中总是变化的,而如何选择这种转化才是关键。

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