大卫.希尔伯特说过，we must konw，we will know.
1.
一对夫妇邀请N-1对夫妇参加聚会（因此聚会上总共有2N人）。每个人都和所有自己不认识的人握了一次手。然后，男主人问其余所有人（共2N-1个人）各自都握了几次手，得到的答案全部都不一样。假设每个人都认识自己的配偶，那么女主人握了几次手？
答案：
首先每个人最大可能握手人数为，2N-2,所以取值范围为{0,1……2n-2},里面只有2n-1个数，又2N-1个人握手次数全部不同，可知它们的握手次数必然为0,1,2,3……2n-2.
其次，继续分析这个握手次数的集合，对于2n-2来说，不跟他握手的只有两个人，一个是他自身，另一个是它对象，可知0必然是它对象，因为如果不是，则2n-2将有三个人未与它握手，矛盾。
依次，往下，看1和2n-3,首先1必然与2n-2握了手，这样它肯定没有与2n-3握，而2n-3没有握的就包括了自身，0，1，如果1号不是它对象，那么会得到4个没有与它握手的，同样矛盾，所以1号必然是它对象。
同理往下，可以发现，(0,2n-2) (1,2n-3)(2,2n-4)…形成了一对，这样剩下的那个n-1就是男主人的老婆了。
再加个问题，那么男主人握了多少次手呢？
2.你在一幢100层大楼下，有21根电线线头标有数字1..21。这些电线一直延伸到大楼楼顶，楼顶的线头处标有字母A..U。你不知道下面的数字和上面的字母的对应关系。你有一个电池，一个灯泡，和许多很短的电线。如何只上下楼一次就能确定电线线头的对应关系？
答案：
之所以放在一块，是因为我意外的发现，其实这两个问题是有联系的。对于第一个问题，其实可以看成一个图，人是节点，而握手关系则形成了一条边，每个人握手次数则是节点的度。
那么它们有什么关系呢？
是的，这个问题我们可以构造一个类似问题1的图结构，这个图最好能满足，图中n个节点度各不相同，这样我们便可以首先在楼底下把各个线头连接(实际上就是图中的边)，然后跑到楼顶测试各个点的度(选择一个点，枚举其他点，如果灯泡亮，说明两者右边，亮的次数就是该点的度)。
当然如果能够构造出一个这样的图，我们就可以只上楼就可以搞定了，连下楼都省了。问题是这样的图可以构造出来吗？我的感觉是不可以，因为类似与问题1，节点的度可选的只有{0,1,2……n-1},但是0和n-1是不能共存的。
但是我们可以构造出一个具有n-1个不同的度，其中两个可以具有相同的度，这样实际上就是问题1的情况了，(可以知道男主人必然与其中的一人握手人数相同)。这样问题就解决了。
当然这个问题，还有其他解法，下面的解法是matrix67给出的，思路也很赞，而且感觉跟某道经典题类似。
下面把2,3连在一起，把4到6全连在一起，把7到10全连在一起，等等，这样你就把电线分成了6个“等价类”，大小分别为1, 2, 3, 4, 5, 6。然后到楼顶，测出哪根线和其它所有电线都不相连，哪些线和另外一根相连，哪些线和另外两根相连，等等，从而确定出字母A..U各属于哪个等价类。现在，把每个等价类中的第一个字母连在一起，形成一个大小为6的新等价类；再把后5个等价类中的第二个字母连在一起，形成一个大小为5的新等价类；以此类推。回到楼下，把新的等价类区别出来。这样，你就知道了每个数字对应了哪一个原等价类的第几个字母，从而解决问题。
又出现了一种解法，bbs上hwpo给出的：先将将楼下的先头两两连接1-2 3-4 …19-20 21
然后上楼测试也可以得到两两连接状态 不妨假设A-B C-D … S-T U
这样21对应U，然后将楼上的先头重排，可以排成这样 A B-C D-E … T-U
然后到楼下测试 此时和21一组的必定对应T 假定是6，那么5必定就对应S，一次类推
一开始我觉得这个方法不对，实际上是对的，主要思想是分组，在下面的时候我们可以按照
(1,2) (3,4)…….(19,20) 21分好组，上楼后我们可以找到那个是21，然后在这样连假设21是U，同时我们还能知道A跟谁连，B跟谁连，C跟谁连。假设(A B)(CD)…U,然后把它们这样连A (B,C)…..(T,U)，下楼后我们就能找到跟21连的是哪个了，比如如果是18，则T就是18，那么S就是17，因为第一次{17，18}{S,T}在一块，如果T是18那么S就是17啦。依次类推。
再加上我根据上面这个方法的提出的一个改进方法，这样就4个方法了,^o^:
实际上我还可以把它进一步简化，利用这样一个性质：
在楼下这样连(1-2-3-4……-20） 21
到楼上我们可以知道那个是21了，然后我们还可以测出这样一个序列来，首先找到只有度为1的那个，当然可能是1或20，然后然后找出与它相连的那个，这样逐步建立起一条链，但是我们不知道这条链的方向即可能是1-2-3…-20也可能是20-19-18….-1,这样也就是说我们只要找到链头到底是谁就好了，这样我们只要把21与某个头链接，下来再测一下就知道头是那个了。
比如我们在下面实际上的链是1-2-3-4-5…20，到了楼上我们得到一条链A-B-F-E-M…,同时我们知道21是U，那么只要将U与A相连，下来就知道A是1还是20了，这样就排好了这条链，同时对应关系也确定了。